ความหมายของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
ตรีโกณมิติ (Trigonometry) คือ สาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับมุม, รูปสามเหลี่ยม และฟังก์ชันตรีโกณมิติ ถ้าเอาตามความเข้าใจง่ายๆว่าการเรียนตรีโกณมิติมีไว้เพื่ออะไร
เพื่อหาความสูง,ความยาว,มุม ของรูปสามเหลี่ยนมุมฉาก ซึ่งสามารถนำไปปรับใช้กับการวัดขนาดตึก ระยะทางระหว่างพื้นที่ วัดระยะทางของดาว หรือการใช้ในกราฟ ในตอนที่เรียนในโรงเรียนอาจจะยังไม่จำเป็นแต่หากน้องๆขึ้นมหาลัยในสาขาวิชาตัวอย่างเช่น วิศวกรรม สถาปัตยกรรมศาสตร์ เศรษฐศาสตร์และอื่นๆ จะมีการนำตรีโกณมิติไปปรับใช้
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมทั้งหมด 3 มุมแต่มี 1 มุมเป็นมุมฉาก ถ้าเราให้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มี C เป็นมุมฉาก เราจะเรียกแต่ละด้านดังต่อไปนี้
ด้าน AB คือ ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse)
ด้าน BC คือ ด้านตรงข้ามมุม A (the opposite side of angle A)
ด้าน AC คือ ด้านประชิดมุม A (the adjacent side of angle A)
การหาค่า sin cos tan
ไซน์(sine) ของมุม A หรือ sin A คือ ความยาวของด้านตรงข้ามมุม A /ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
โคไซน์(cosine) ของมุม A หรือ cos A คือ ความยาวด้านประชิดมุม A / ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
แทนเจนต์(tangent) ของมุม A หรือ tan A คือ ความยาวด้านตรงข้ามมุม A / ความยาวด้านประชิดมุม A
สำหรับ Cosec , Sec , Cot จะเป็นส่วนกลับ ของ Sine , Cos , Tan ตามลำดับ
Cosec A = ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก / ความยาวของด้านตรงข้ามมุม A หรือ เป็นส่วนกลับของ Sin A
Sec A = ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก / ความยาวด้านประชิดมุม A หรือ เป็นส่วนกลับของ Cos A
Cot A = ความยาวด้านประชิดมุม A / ความยาวด้านตรงข้ามมุม A หรือ เป็นส่วนกลับของ Tan A
sin cos tan ของมุมพื้นฐานรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ตารางด้านบนคือตารางแสดงค่า Sin , Cos , Tan ของมุมพื้นฐานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งค่านี้สามารถนำไปใช้เพื่อหาค่า
มุมและระยะห่างของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าแสดงมุมภายในทุกมุมเท่ากัน 60 องศา เมื่อแบ่งสมมาตรตรงกลางจะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมภายใน 90 , 30 , 60 ตามลำดับ ทั้งหมด 2 รูป
โดยจะมีสูตรหาความยาวด้านรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คือ ด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง เท่ากับผลรวมของแต่ละด้านประกอบมุมฉากยกกำลังสอง ดังภาพ
วงกลมหนึ่งหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วย เป็นสิ่งที่สำคัญมากๆ ในการหาค่าของมุมตรีโกณ โดยเฉพาะที่ต้องหาค่าของ sin cos tan ไม่จำกัดแค่เฉพาะบท
ตรีโกณ โดยเฉพาะมุมประหลาดที่มีค่ามากกว่า 90ᵒ หรือมากกว่า 360ᵒ ก็สามารถหาได้เช่นกัน
การกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้น สามารถทำได้โดยการใช้วงกลมรัศมี 1 หน่วย มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและเราจะเรียก
วงกลมดังกล่าวว่า วงกลมหนึ่งหน่วย (The unit circle)
เมื่อเรากำหนดจำนวนจริง θ (เซตา) จาก (1,0) วัดระยะไปตามส่วนโค้งของวงกลม โดยมีข้อตกลงดังนี้ว่า :
ถ้า θ > 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด (1,0) ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
ถ้า θ < 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด (1,0) ไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา
ถ้า θ = 0 จุดปลายส่วนโค้งคือจุด (1,0)
จะได้ว่า เมื่อเรากำหนดจำนวนจริง θ ให้ เราสามารถหาจุด (x,y) ซึ่งเป็นจุดปลายส่วนโค้งได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น
ถ้า |θ| > 2π แสดงว่า วัดส่วนโค้งเกิน 1 รอบ เพราะเส้นรองวงของวงกลมยาว 2π หน่วย
โคฟังชันก์ (co-function)
โคฟังก์ชัน คือ การเท่ากันของค่าฟังก์ชันตรีโกณ โดยมีเงื่อนไขว่า มุมรวมกันได้ 90 องศา
แล้ว sin เท่ากับ cosine (cos)
tan เท่ากับ cotan (cot)
sec เท่ากับ cosec (csc)
ตัวอย่างเช่น
sin 50°= cos 40°
cot 20°= tan 70°
csc 35°= sec 55°
